CHUYÊN ĐỀ 1:
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
(Tác giả: Nguyễn Hạnh Uyên Minh – Nhà xuất bản tổng hợp TP HCM)

Dạng 1
Cho x + y + z = 0.
Chứng minh x3 + y2z + y3 + x2z – xyz = 0


Phương pháp: Biến đổi vế trái thành nhân tử trong đó có một nhân tử bằng không (x + y + z = 0).
(Dạng A . B , có A hoặc B bằng 0)


Giải:
Vế trái x3 + y2z + y3 + x2z – xyz = x3 + y3 + z(x2 + y2 – xy) =
= (x + y) (x2 + y2 – xy) + z(x2 + y2 – xy)
= (x2 + y2 – xy) (x + y + z ) = 0 (vì x + y + z = 0)
Điều phải chứng minh

Dạng 2
Cho x + y + z = 0.
Chứng minh:




Phương pháp: Biến đổi vế trái thành dạng trong đó:

A = x + y + z = 0



Giải:
Theo đề bài ta có: x + y + z = 0 suy ra x + y = – z
Bình phương cả hai vế (x + y)2 = (– z)2 nên x2 + y2 + 2xy = z2
Do đó x2 + y2 – z2 = – 2xy (1)
Tương tự: x2 + z2 – y2 = – 2xz (2)
y2 + z2 – x2 = – 2yz (3)
Thay (1), (2) , (3) vào vế trái ta có:

(Vì x + y + z = 0 và a, b, c 0)

Điều phải chứng minh.

Dạng 3
Cho xyz = 1.
Chứng minh:




Phương pháp: Biến đổi vế trái thành dạng (Tử bằng mẫu)




Giải: Theo đề bài xyz = 1 suy ra
Thay giá trị vào vế trái, ta có:







=



=

Điều phải chứng minh.

Dạng 4

Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau và

Chứng minh:



Phương pháp: Dùng giả thiết rồi tính tổng


x – y 0 ; y – z 0 ; z – x 0


Giải: Theo đề bài ta có:
hay (1)

Nhân 2 vế của (1) với :




Từ giả thiết: (3)


Nhân 2 vế của (3) với : (3)


Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có: (đpcm)


BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1
Cho và x + y = 1

Chứng minh:

Hướng dẫn: Dùng giả thiết x + y = 1 => x = 1 – y
Thay x = 1 – y vào vế trái
Suy ra (đpcm) : Vế trái = vế phải




Bài 2
Chứng minh: (mx +ny)2 + (my – nx)2 = (m2 + n2)(x2 + y2)
Hướng dẫn: Biến đổi vế trái bằng vế phải (đpcm)

Bài 3
Chứng minh:



Hướng dẫn: Biến đổi

Tương tự với 2 phân thức sau: Vế trái = vế phải (đpcm)

Bài 4

Cho (1) ;

và (2)

Chứng minh:


Hướng dẫn: Bình phương cả hai vế của (1) và từ (2) ta có:
myz + nzx + pxy = 0

Suy ra


Bài 5
Cho a + b + c + d = 0
Chứng minh: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(b + d)(ac – bd)
(Trích đề thi HSG1976 – TPHCM)
Hướng dẫn: Theo giả thiết Cho a + b + c + d = 0
Suy ra a + b = – (c + d) (1)
Tam thừa cả hai vế của (1) và biến đổi sẽ được:
Vế trái = vế phải (đpcm)



Quy Nhơn, ngày 09 tháng 6 năm 2013
GV


Lê Văn Thái




CHUYÊN ĐỀ 2:
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY)


BĐT
Côsi

Hai số a và b không âm thì: (1)
hay
Dấu “=” xảy ra <=> a = b

Chứng minh: <=> <=>
<=>