I. Lý do chọn đề tài

Nội dung bất đẳng thức (BĐT) trong toán học ở trường phổ thông đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh (HS); Các bài toán chứng minh BĐT nói chung đều là các bài toán khó bởi ngoài việc nắm vững kiến thức cơ bản đòi hỏi người làm toán phải có mọt tư duy mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo. Chính vì thế nên nội dung BĐT hay dùng để phân loại HS. Có thể nói BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân mà ta quen gọi là BĐT Côsi là một trong những kho báu của toán học, nó là công cụ rất mạnh để chứng minh nhiều BĐT khác.Tuy nhiên việc vận dụngBDT Côsi để chứng minh các BĐT khác đòi hỏi phải có một tư duy rất linh hoạt. Chúng ta biết rằng: “ Giải toán là một nghệ thuật thực hành cũng giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành. Không có chìa khoá thần kì để mở mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kì để biến mọi kim loại thành vàng”. Với những lý do trên đây và trong giới hạn phạm vi của sáng kiến kinh nghiệm nên tôi xin trình bày một số kĩ thuật thông dụng nhằm rèn luyện cho HS tư duy sáng tạo, khả năng khai thác, mở rộng và tìm tòi bài toán từ BĐT Côsi, với tên đề tài: “Hướng dẫn học sinh vận dụng, khai thác và tìm tòi bài toán mới từ bất đẳng thức Côsi”.
II. Hướng dẫn học sinh vận dụng, khai thác và tìm tòi bài toán mới từ bất đẳng thức Côsi.
1. Bất đẳng thức Côsi
Cho n số thực không âm a1, a2, …, an; Với n là số tự nhiên khác không. Ta có:
(1*)
Đẳng thức xảy ra
Bất đẳng thức (1*) còn được viết dưới dạng sau: (2*)
2. Các hệ quả của BĐT Côsi
a) Nếu các số không âm có tổng không đổi a1+a2+…+an=S thì tích lớn nhất khi a1=a2=…=an
b) Nếu các số không âm có tích không đổi a1.a2…an thì tổng nhỏ nhất khi a1=a2=…=an
3) Hướng dẫn học sinh tìm tòi bài toán
Bài toán 1: Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: (1)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Đây là một bài toán chứng minh BĐT với hai biến ở vế trái là hai số dương a, b. Vế trái là tích của tổng hai số và tổng nghịch đảo của chúng.
Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải
Do gợi ý ở vế trái có a+b và nên ta thử áp dụng BĐT Côsi cho 2 số a và b, và Ta có: a+b
Vế trái của hai BĐT trên gợi ý cho ta có suy nghĩ là nhân hai vế của hai BĐT trên với nhau.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương a và b, và Ta được: a+b
Do các vế của hai BĐ